Polynésie, mai 2022 (partiel)

Soit ( \(u_n\) ) la suite définie par \(u_0=1\)  et pour tout entier naturel \(n\)   \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+u_n}\) .

1. a. Calculer les termes  \(u_1\) , \(u_2\)  et \(u_3\) . On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
    b. Recopier le script Python ci-dessous et compléter les lignes \(3\)  et  \(6\) pour que liste(k) prenne en paramètre un entier naturel \(k\)  et renvoie la liste des premières valeurs de la suite ( \(u_n\) ) de \(u_0\)  à \(u_k\) .

\(\begin{array}{| l| } \hline 1. & \texttt{def liste(k) : } \\ 2. &\quad\qquad \texttt{L=[] } \\ 3. &\quad\qquad \texttt{u=... } \\ 4. &\quad\qquad\texttt{for i in range(0, k+1):} \\ 5. &\qquad\qquad\texttt{L.append(u)} \\ 6. &\qquad\qquad\texttt{u=....}\\ 7. &\quad\qquad\texttt{return(L)}\\ \hline \end{array}\)

\(\) 2. On admet que, pour tout entier naturel  \(n\) , \(u_n\)  est strictement positif. Déterminer le sens de variation de la suite ( \(u_n\) ).

3. a. Conjecturer une expression de \(u_n\)  en fonction de \(n\) .
    b. Démontrer par récurrence la conjecture précédente.